Hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la Hipérbola:

Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

Eje menor o imaginario

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan a las ramas al alejarse del centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde esta corta a sus ejes.

Focos

Son dos puntos, ${\displaystyle F_{1}\,y\,F_{2}}$, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, ${\displaystyle x}$, de dicha hipérbola.

${\displaystyle \vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte}$

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Radio de curvatura[editar]

Sea el punto ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ de la hipérbola, entonces el radio de curvatura es

${\displaystyle R=a^{2}b^{2}({\frac {x_{0}^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{4}}})^{\frac {3}{2}}={\frac {(r_{1}\cdot r_{2})^{1.5}}{ab}}}$

, la ecuación de la hipérbola es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Áreas

01.Sea el segmento ${\displaystyle AMN}$ donde A, vértice de una rama; M y N extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es

${\displaystyle AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot ln({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}})=a\cdot b\cdot Arch{\frac {x}{a}}}$

02. Sea el cuadrilátero curvo ${\displaystyle OAMG}$, donde O (origen de coordenadas); segmento OG sobre una asíntota; OA extremos centro y un vértice; y ${\displaystyle M(xy)}$ un punto de la hipérbola; MA un arco de hipérbola; El área es

${\displaystyle OAMG={\frac {a\cdot b}{4}}+{\frac {a\cdot b}{2}}\cdot ln{\frac {2OG}{c}}}$

La Elipse

La elipse es una curva plana, simple y cerrada; es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.​ Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• El semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F₁ y F₂ son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F₁F₂, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

${\displaystyle PF_{1}+PF_{2}=2a\,}$

donde ${\displaystyle a\,}$ es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

 , con ${\displaystyle (0\leq \varepsilon \leq 1)}$

Dado que ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ , también vale la relación:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {\cfrac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

o el sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon ={\cfrac {c}{a}}\\c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\end{cases}}}$

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.​ La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos)

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad ${\displaystyle \varepsilon }$, esto es:

${\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}(\varepsilon )=\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=2\tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right);\,\!}$

Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro, es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.​

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud del segmento del mismo nombre. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
• Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro de esta. El diámetro también es la longitud del segmento del mismo nombre. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.
• Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
• Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo punto.
• Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
• Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
• Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Parábola

El lugar geométrico del conjunto de los puntos de un plano, que equidistan de una recta fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco.

• Elementos de la parábola:

Foco: Punto fijo.

Directriz: Es la recta fija.

Parámetro: Es la distancia entre el foco y el vértice, el vértice y la directriz.

Eje de simetría ó Eje focal: Recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco.

Vértice: Punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría; punto medio entre el foco y la directriz.

Lado recto: Segmento con extremos en la parábola que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría.

Parábola con vértice(0,0):

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax² donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Ecuaciones:

NOTA: recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde esta el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.

Parábola con vértice(h,k):

Ahora analizaremos los casos en que se puede obtener la ecuación que describe una parábola cuyo vértice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados.

Cuando el vértice de la parábola se localiza en cualquier punto, por convención ubicado en las coordenadas (h, k) , y distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en función de la posición de este punto y de la orientación de apertura respecto de los ejes x e y .

Debido a estas características, también tenemos cuatro posibilidades de ecuaciones de parábolas cuyo vértice está fuera del origen del sistema de ejes coordenados.

• Primera posibilidad: Que la parábola se abra hacia la derecha (Sentido positivo) en el eje de simetría x.

Ecuación de la parábola    (y – k) 2 =  4p(x – h)

Ecuación de la directriz      x – h + p = 0

• Segunda posibilidad: Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de simetría x.

Ecuación de la parábola   (y – k) 2 = 4p(x – h)

Ecuación de la directriz   x – h – p = 0

• Tercera posibilidad: Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”

Ecuación de la parábola       (x – h) 2 = 4p(y – k)

Ecuación de la directriz        y – k + p = 0

• Cuarta posibilidad: Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo)  del eje de las ordenadas “Y”.

Ecuación de la parábola    (x – h) 2 = –4p(y – k)

Ecuación de la directriz     y – k – p = 0

Ley de coseno

Es una expresión que permite conocer un lado de un triangulo cualquiera si conoces los otros dos y el angulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos
Esta ley es útil solo si dan dos lados faltantes y el angulo opuesto al lado que se busca tienen que dar dos lados y el angulo que hacen los lados, si no te dan el angulo que hacen los lados, se usa la ley de los senos.

• Resolución de triángulos por ley del coseno.

Significa encontrar todos los datos que te faltan a partir de los datos que te dan (son tres datos)

No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con ley del coseno. A veces por los datos que se dan solo la ley del seno la puede resolver.

Ley de seno

Es una relación de tres igualdades que siempre se cumple entre los lados y ángulos de un triangulo cualquiera y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos

• Resolución de triángulos 

Resolver un triangulo significa encontrar todos los datos que te faltan a partir de los datos que dan que generalmente son tres.

*No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que dan solo se puede resolver con la ley del coseno*

Si en un problema de triángulos dan como dos ángulos, el dato y un lado se usa la ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y un angulo se hace la ley de coseno.

Identidades trigonometricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualquiera que sean los valores que asignen a los ángulos para las cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permitan plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorizacion, denominadores comunes, etc.
Estas identidades se cumplen para cualquier angulo en el cual el denominador no sea cero. Son identidades reciprocas.

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas.

Se aplica únicamente a triangulo rectángulos y nos sirve para obtener un lado a la hipotenusa de un triangulo, si es que conocen los otros dos: Las relaciones pitagóricas.

   

Simplificación

Para simplificar una fracción en la que el numerador y denominador son productos de funciones trigonométricas se aplica la propiedad cociente de potencia igual base. Ejemplo

Pero para simplificar una fracción en la que el numerador y denominador consta de dos o mas términos se factoriza numerador y denominador y se simplifica los factores comunes.

Diferencia de Cuadrados

La diferencia de cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual al producto de la suma por la diferencia de dos expresiones ejemplo :

     

• TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 

Es un polinomio de tres términos (también llamado trinomio) que resulta elevar al cuadrado un binomio.

Es la regla cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino.

• TRINOMIO DE LA FORMA χ²+ bx+ c

Para factorizar un trinomio de la forma χ²+ bx+ c se buscan dos números R y S cuyo producto sea igual a C y su suma sea igual a b. Ejemplo

Factorización de expresiones con funciones trigonométricas

Es posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante las mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.

•    Factor Común

En este caso es necesario identificar un factor común que aparezca en todos los términos y aplicar la propiedad distributiva.

Ejemplo:

• Factor común por agrupación.

En este caso se separan la expresión en dos o mas términos en partes iguales (igual cantidad de términos). En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva. Ejemplos:

 

Operaciones Algebraicas con Funciones Trigonométricas

Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran funciones trigonométricas, se estudiará la suma, la resta, la multiplicación y la división de estas expresiones.

• Suma y Resta de expresiones trigonométricas.

Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones trigonométricas se deben agrupar y reducir términos semejantes:

• Multiplicación de expresiones trigonométricas.

Para multiplicar expresiones trigonométricas se aplica la propiedad producto de potencia de igual base y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta.

Para recordar:

Propiedad de la potencia

Propiedad distributiva

Ejemplo

• División de expresiones con funciones trigonométricas.

Casos de factorización: