Hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la Hipérbola:

Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

Eje menor o imaginario

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan a las ramas al alejarse del centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde esta corta a sus ejes.

Focos

Son dos puntos, ${\displaystyle F_{1}\,y\,F_{2}}$, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, ${\displaystyle x}$, de dicha hipérbola.

${\displaystyle \vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte}$

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Radio de curvatura[editar]

Sea el punto ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ de la hipérbola, entonces el radio de curvatura es

${\displaystyle R=a^{2}b^{2}({\frac {x_{0}^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{4}}})^{\frac {3}{2}}={\frac {(r_{1}\cdot r_{2})^{1.5}}{ab}}}$

, la ecuación de la hipérbola es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Áreas

01.Sea el segmento ${\displaystyle AMN}$ donde A, vértice de una rama; M y N extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es

${\displaystyle AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot ln({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}})=a\cdot b\cdot Arch{\frac {x}{a}}}$

02. Sea el cuadrilátero curvo ${\displaystyle OAMG}$, donde O (origen de coordenadas); segmento OG sobre una asíntota; OA extremos centro y un vértice; y ${\displaystyle M(xy)}$ un punto de la hipérbola; MA un arco de hipérbola; El área es

${\displaystyle OAMG={\frac {a\cdot b}{4}}+{\frac {a\cdot b}{2}}\cdot ln{\frac {2OG}{c}}}$