Simplificación

Para simplificar una fracción en la que el numerador y denominador son productos de funciones trigonométricas se aplica la propiedad cociente de potencia igual base. Ejemplo

Pero para simplificar una fracción en la que el numerador y denominador consta de dos o mas términos se factoriza numerador y denominador y se simplifica los factores comunes.

Diferencia de Cuadrados

La diferencia de cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual al producto de la suma por la diferencia de dos expresiones ejemplo :

     

• TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 

Es un polinomio de tres términos (también llamado trinomio) que resulta elevar al cuadrado un binomio.

Es la regla cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino.

• TRINOMIO DE LA FORMA χ²+ bx+ c

Para factorizar un trinomio de la forma χ²+ bx+ c se buscan dos números R y S cuyo producto sea igual a C y su suma sea igual a b. Ejemplo

Factorización de expresiones con funciones trigonométricas

Es posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante las mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.

•    Factor Común

En este caso es necesario identificar un factor común que aparezca en todos los términos y aplicar la propiedad distributiva.

Ejemplo:

• Factor común por agrupación.

En este caso se separan la expresión en dos o mas términos en partes iguales (igual cantidad de términos). En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva. Ejemplos:

 

Operaciones Algebraicas con Funciones Trigonométricas

Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran funciones trigonométricas, se estudiará la suma, la resta, la multiplicación y la división de estas expresiones.

• Suma y Resta de expresiones trigonométricas.

Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones trigonométricas se deben agrupar y reducir términos semejantes:

• Multiplicación de expresiones trigonométricas.

Para multiplicar expresiones trigonométricas se aplica la propiedad producto de potencia de igual base y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta.

Para recordar:

Propiedad de la potencia

Propiedad distributiva

Ejemplo

• División de expresiones con funciones trigonométricas.

Casos de factorización:

Trigonométrica analítica

La suma y resta de números reales, se deben tener en cuenta los signos. Ej

 

No importa si el mayor esta antes o después, signos diferentes se restan el resultado se coloca el signo del # mayor.

Homogéneas = Denominador igual.
Heterogéneas = Denominadores diferentes se multiplican en cruz.
Ej:

En las expresiones algebraicas se utilizan variables y constantes cuyos valores pertenecen al conjunto de los números reales en este periodo se aplicaran algunos procedimientos utilizados en el álgebra a expresiones que involucran las funciones trigonométricas pues estas pertenecen al conjunto de los números reales. 

Razones en Ángulos de 30°, 45° y 60°

• Razones de 30° y 60°

Para encontrar los valores de las razones trigonométricas en los ángulos de 30° y 60° es necesario la construcción de un triangulo equilátero:

• Razones de 45°

Circunferencia Unitaria

El estudio de las funciones trigonométricas requiere del análisis de su comportamiento y de la identificación de su dominio y su rango.
La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad .

En la figura anterior se muestra la circunferencia unitaria que contiene al punto P (x,y) al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene que para todos los puntos P(x,y) en la circunferencia unitaria se cumple que: 

                               

Si θ es un ángulo en posición normal cuya medida es igual a t = radianes la medida del arco S subtendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria se obtiene mediante.

Por lo tanto, en la circunferencia unitaria un ángulo de T radianes subtiende un arco de T = unidades.

Funciones trigonométricas definidas en una circunferencia unitaria

Si t pertenece a los números reales y es la medida de arco descrito en una circunferencia unitaria con extremos en los puntos (1,0) y P(x,y) se define las razones o las funciones trigonométricas de la siguiente manera:

Si la medida de un ángulo en posición normal es T radianes y el lado final de ángulo contiene al P (x,y) que pertenece a la circunferencia se tiene que:

Y = Sen t              X = Cos t

A partir de los anteriores expresiones se tiene que:

Las funciones trigonometricas definidas en una circunferencia unitaria se denominan funciones circulares.

Circunferencia Unitaria con grados, radianes y sus funciones trigonométricas.